ความเครียด (กลศาสตร์)

ความเครียด (อังกฤษ: strain) คือปริมาณการเปลี่ยนแปลงขนาดของวัตถุเทียบกับขนาดตั้งต้น

การเปลี่ยนแปลงรูปร่างของวัตถุสามารถเขียนได้ด้วยการเขียนตำแหน่งสุดท้ายของวัตถุ $x = F (X)$ โดยที่ $X$ คือตำแหน่งตั้งต้นของวัตถุ การเขียนสมการแบบนี้จะไม่แยกระหว่างการเคลื่อนที่ของวัตถุ (การเปลี่ยนตำแหน่งและหมุน) และการเปลี่ยนรูปร่างและขนาดของวัตถุ

เราสามารถนิยามความเครียดได้จาก

{\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}}

โดยที่ $I$ คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้นความเครียดจึงไม่มีหน่วย และมักจะนิยมเขียนเป็นจุดทศนิยม เปอร์เซ็นต์ หรือ ร้อยละ ความเครียดบอกถึงการเปลี่ยนรูปร่างที่ตำแหน่งใดๆในวัตถุจากการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด

ความเครียดเป็นปริมาณเทนเซอร์ ความเครียดสามารถแบ่งองค์ประกอบเป็นความเครียดตั้งฉาก (normal strain) และความเครียดเฉือน (shear strain) เมื่อวัตถุถูกเปลี่ยนรูปร่าง ความเครียดตั้งฉาก บอกถึงอัตราส่วนการเปลี่ยนขนาดหรือความยาวของวัตถุ ในขณะที่ความเครียดเฉือนบอกถึงมุมที่วัตถุถูกเบือนจากทิศทางตั้งต้น โดยความเครียดทั้งสอบแบบนี้บอกถึงการเปลี่ยนรูปร่างในทิศตั้งฉากกัน

ถ้าความยาวของวัตถุเพิ่มขึ้น ความเครียดเฉือนตั้งฉากจะเรียกว่า ความเครียดดึง (tensile strain) ในทางกลับกันถ้าความยาวลดลง เราจะเรียกว่า ความเครียดอัด (compressive strain)

นอกเหนือจากนิยามที่กล่าวมายังมีการนิยาม ความเครียด หลายแบบ อาทิเช่น ความเครียดทางวิศวกรรม (engineering strain)ซึ่งมักจะใช้กับวัสดุที่ใช้ในเคลื่องกลและโครงสร้างทางวิศวกรรมซึ่งจะเปลี่ยนรูปร่างได้เพียงเล็กน้อย ในขณะที่วัสดุบางประเภท อาทิ อีลาสโตเมอร์และพอลิเมอร์สามารถเปลี่ยนรูปร่างได้เยอะ การใช้นิยามความเครียดทางวิศวกรรมนั้นอาจจะไม่เหมาะสมเมื่อวัตถุขยายขนาดมากกว่า 1% จึงต้องใช้นิยามแบบอื่น เช่น อัตราส่วนการยืด หรือ ความเครียดจริง

นิยาม ความเครียด

ความเครียดทางวิศวกรรม (engineering strain หรือ Cauchy strain) คืออัตราส่วนระหว่างขนาดที่เปลี่ยนไปต่อขนาดตั้งต้น สำหรับวัตถุขนาดยาวตั้งต้น $L$ ที่เปลี่ยนความยาว $Δ L$ สามารถเขียนได้ว่า

$\ e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}$

โดย $e$ คือความเครียดตั้งฉากทางวิศวกรรมและ $l$ คือความยาวสุดท้าย ถ้าความเครียดนี้เป็นบวกหมายความว่าความยาวเพิ่มขึ้น แต่ถ้าเป็นลบแสดงว่าความยาวลดลง

ส่วนความเครียดเฉือนทางวิศวกรรมนิยามจากค่า tan ของมุมเฉือน ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนระหว่างความยาวที่เปลี่ยนไปในทิศของแรงเฉือนต่อความยาวตั้งฉากกับแรงเฉือน

การคำนวณความเครียดทางวิศวกรรมนั้นคำนวณได้ง่าย แต่บอกได้ถึงการเปลี่ยนแปลงขนาดโดยรวมเท่านั้น ไม่สามารถบอกถึงว่าวัตถุถูกเปลี่ยนแปลงรุปร่างผ่านขั้นตอนอะไร

อัตราส่วนความยืด

อัตราส่วนความยืด (stretch ratio หรือ extension ratio ) คือปริมาณที่บอกว่าวัตถุเปลี่ยนความยาวไปแค่ไหน ซึ่งนิยามจจากอัตราส่วนระหว่างความสุดท้าย $l$ ต่อความยาวตั้งต้น $L$

\ \lambda ={\frac {l}{L}}

ซึ่งสัมพันธ์กับความเครียดทางวิศวกรรมโดย

\ e={\frac {l-L}{L}}=\lambda -1

ถ้าความเครียดเป็นศูนย์ซึ่งแปลวาสวัตถุไม่เปลี่ยนความยาว อัตราการยืดจะเท่ากับ 1

อัตราส่วนความยืดนั้งมักถูกใช้ในการวิเคราะห์วัสดุที่เปลี่ยนรูปร่างขนาดใหญ่ อาทิเช่น อีลาสโตเมอร์หรือยาง ซึ่งสามารถเปลี่ยนขนาดได้ที่อัตราส่วน 3 หรือ 4 เท่า ก่อนที่มันจะเสียหาย ในทางตรงกันข้ามวัสดุทางวิศกรรมเช่น คอนกรีต หรือ เหล็กกล้า จะเสียหายที่อัตราส่วนที่ต่ำกว่ามาก

ความเครียดจริง

ความเครียดจริง (true strain or logarithmic strain) คำนวณจากการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงความยาวเล็กน้อย $𝛿 l$ จากความยาว $l$ ซึ่งทำให้เกิดความเครียดตั้งฉาก

\ \delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}

เนื่องจากความยาวนั้นเปลี่ยนเรื่อยๆ ความเครียดโดยรวมจึงหาได้จาก

\ {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{aligned}}

โดย $e$ คือความเครียดทางวิศวกรรม ความเครียดจริงบอกถึงการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของวัตถุโดยนำขั้นตอนการเปลี่ยนขนาดมาพิจารณาด้วย

ส่วนความเครียดเฉือนจริงนั้นคำนวณได้จากมุม(ในหน่วยเรเดียน)ของวัตถุที่เปลี่ยนไปหลังจากการเปลี่ยนรูปร่าง

ความเครียดตั้งฉากและความเครียดเฉือน

อย่างที่กล่าวมาว่าความเครียดแบ่งเป็นสองแบบคือความเครียดตั้งฉากซึ้งตั้งฉากกับหน้าตัดของวัตถุและความเครียดเฉือนที่ขนานกับหน้าตัดของวัตถุ โดยนิยามเหล่านี้สอดคล้องกับความเค้นตั้งฉาก(normal stress)และความเค้นเฉือน(shear stress)

ความเครียดตั้งฉาก

สำหรับวัสดุที่สม่ำเสมอและมีพฤติกรรมตามกฎของฮุค ความเค้นตั้งฉากจะทำให้เกิดความเครียดตั้งฉาก

พิจารณา element สี่เหลี่ยมในสองมิติมีขนาด $dx \times dy$ ซึ่งเมื่อถูกเปลี่ยนรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน การเปลี่ยนรูปร่างสามารถบรรยายโดยใช้สนามกระจัด (displacement field) จากรูปเราสามารถเขียนความยาวด้าน